Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，OA=16cm，OC=8$\sqrt{2}$cm，兩動點M、N分別從O、C同時出發(fā)，M在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運動，N在線段CO上沿CO方向以每秒$\sqrt{2}$cm的速度勻速運動，設運動時間為t秒（0≤t≤8）．
（1）求△OMN的面積的最大值；
（2）四邊形OMBN的面積是一個定值嗎？若是，求出定值；若不是，請說明理由；
（3）當△OMN與△ABM和△MBN都相似時，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過B、M兩點，過線段BM上一動點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，交NB于點H，當線段PQ的長取得最大值時，求△PBH的面積．

Answer 1

分析 （1）用t表示OM、ON，根據(jù)S_△OMN=$\frac{1}{2}$ON•OM，構建二次函數(shù)，利用配方法求最大值．
（2）根據(jù)S_{四邊形OMBN}=S_矩形OABC-S_△BCN-S_△ABM計算即可．
（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+（$\sqrt{2}-6$）x+32-8$\sqrt{2}$，設P（t，$\sqrt{2}$t-8$\sqrt{2}$），則Q（t，$\frac{1}{4}$t²+（$\sqrt{2}$-6）t+32-8$\sqrt{2}$），H（t，$\frac{\sqrt{2}}{4}$t+4$\sqrt{2}$），構建二次函數(shù)，即可解決問題．

解答 解：（1）∵OM=2t，CN=$\sqrt{2}$t，ON=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$（8-t），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$ON•OM=$\frac{1}{2}$×2t×$\sqrt{2}$（8-t）=-$\sqrt{2}$t²+8$\sqrt{2}$t=-$\sqrt{2}$（t-4）²+16$\sqrt{2}$（0≤t≤8），
∵a=-$\sqrt{2}$＜0，
∴當t=4時，S_△OMN取最大值16$\sqrt{2}$．

（2）是一個定值．理由如下：
∵S_{四邊形OMBN}=S_矩形OABC-S_△BCN-S_△ABM=OA•OC-$\frac{1}{2}$BC•CN-$\frac{1}{2}$AB•AM=16×8$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$×16×$\sqrt{2}$t-$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×（16-2t）=64$\sqrt{2}$，
∴四邊形OMBN的面積是一個定值，該定值為64$\sqrt{2}$．

（3）當△OMN與△ABM與△MBN相似時，△BMN必須是直角三角形，
∴∠BMN=90°
∴△OMN∽△ABM∽△MBN，
∴$\frac{MO}{AB}$=$\frac{ON}{MA}$，即$\frac{2t}{8\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{16-2t}$，解得t=4或8（舍棄），
∴OM=8．ON=4$\sqrt{2}$，
∴M（8，0），N（0，4$\sqrt{2}$）
設直線BM解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{16k+b=8\sqrt{2}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{2}}\\{b=-8\sqrt{2}}\end{array}\right.$
∴直線BM的解析式為y=$\sqrt{2}$x-8$\sqrt{2}$，
設直線BN的解析式為y=mx+n，則有$\left\{\begin{array}{l}{n=4\sqrt{2}}\\{16m+n=8\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{2}}{4}}\\{n=4\sqrt{2}}\end{array}\right.$
∴直線BN的解析式為y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+4$\sqrt{2}$，
∵拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過B（16，8$\sqrt{2}$），M（8，0），
則有$\left\{\begin{array}{l}{64+16b+c=8\sqrt{2}}\\{16+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}-6}\\{c=32-8\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+（$\sqrt{2}-6$）x+32-8$\sqrt{2}$，設P（t，$\sqrt{2}$t-8$\sqrt{2}$），
則Q（t，$\frac{1}{4}$t²+（$\sqrt{2}$-6）t+32-8$\sqrt{2}$），H（t，$\frac{\sqrt{2}}{4}$t+4$\sqrt{2}$）
∴PQ=$\sqrt{2}$t-8$\sqrt{2}$-（$\frac{1}{4}$t²+（$\sqrt{2}$-6）t+32-8$\sqrt{2}$=-$\frac{1}{4}$t²+6t-32=-$\frac{1}{4}$（t-12）²+4，
∴當t=12時，PQ最大值是4，此時P（12，4$\sqrt{2}$），H（12，7$\sqrt{2}$），
∴S_△PBH=$\frac{1}{2}$×$4×3\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、一次函數(shù)、多邊形面積問題．最值問題等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會構建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．