Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E，且AB=8，AD=4．P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，則PG+PH的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：首先根據(jù)題意結(jié)合圖形證明線段AE=CE，然后借助勾股定理求出AE的長(zhǎng)度；借助三角形的面積公式即可解決問題．

解答：解：如圖，連接EP；
由翻折變換的性質(zhì)可知：
∠EAC=∠BAC；
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，
∴∠EAC=∠ECA；
∴EA=EC（設(shè)為x），
∵DC=AB=8，
∴DE=8-x；
由勾股定理得：AE²=AD²+DE²，
即x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5；
∵S△AEC=

1

2

EC•AD=

1

2

×5×4，
S_△AEC=S_△APE+S_△CPE，
而S△APE+S△CPE=

1

2

AE•PG+

1

2

EC•PH，
∴

1

2

×5×4=

1

2

×5×PG+

1

2

×5×PH，
∴PG+PH=4．
故該題答案為4．

點(diǎn)評(píng)：該命題以矩形為載體，借助對(duì)稱變換來考查全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式等幾何知識(shí)；對(duì)分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求．