Question

正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM.

（1）求證：EF=FM；

（2）當AE=1時，求EF的長．

 

Answer 1

【答案】

試題分析：（1）先根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到DE=DM，∠EDM=90°，再結合∠EDF=45°可得∠FDM =∠EDM=45°，再有公共邊DF即可證得△DEF≌△DMF，從而得到結論；（2）

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)旋轉的性質(zhì)結合正方形的得到DE=DM，∠EDM=90°，再結合∠EDF=45°可得∠FDM =∠EDM=45°，再有公共邊DF即可證得△DEF≌△DMF，從而得到結論；  

（2）設EF="x" ，即可得到BF=BM-MF=BM-EF=4-x，在Rt△EBF中根據(jù)勾股定理即可列方程求解.

（1）∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM

∴DE=DM，∠EDM=90°

∴∠EDF +∠FDM=90°

∵∠EDF=45°

∴∠FDM =∠EDM=45°

∵DF=" DF"

∴△DEF≌△DMF

∴EF=MF；  

（2）設EF=x    

∵AE=CM=1      

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x 

∵EB=2

在Rt△EBF中，由勾股定理得

即

解得 

∴EF的長為.

考點：正方形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

點評：解答本題的關鍵是熟練掌握旋轉前后圖形的對應邊、對應角相等；對應邊的夾角是旋轉角.