Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E是 上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)F是 上一點(diǎn)，連接OE，OF，分別與AB，BC交于點(diǎn)G，H，有下列結(jié)論：
① = ；
②△OGH是等腰三角形；
③四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化；
④若BG=1﹣ ，則BG，GE， 圍成的面積是 + ．
其中正確的是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】①②
【解析】如圖所示，連接OC、OB、CF、BE．

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE=∠COF，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = ；故①正確，

在△BOG與△COH中，

，

∴△BOG≌△COH（ASA），

∴OG=OH，
∵∠HOG=90°

∴△OGH是等腰直角三角形，②正確，

∴S△OBG=S△OCH，

∴S四邊形OGBH=S△BOC= S正方形ABCD=定值，故③錯(cuò)誤；

作OM⊥AB于M，則OM=BM= AB=1，OB= OM= ，

∴GM= ，

∴tan∠GOM= = ，

∴∠GOM=30°，

∵∠BOM=45°，

∴∠BOG=45°﹣30°=15°，

∴扇形BOE的面積= = ，

∵BG=1﹣ ，

∴AG=1+ ，

過(guò)G作GP⊥BO于P，

∴PG=PB= ﹣ ，

∴△OBG的面積= × ×（ ﹣ ）= ﹣ ，

∴BG，GE， 圍成的面積=扇形BOE的面積﹣△BOG的面積= ﹣ + ，故④錯(cuò)誤．

所以答案是：①②．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正多邊形和圓和扇形面積計(jì)算公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角；圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．