Question

10．如圖，I為△ABC的三條角平分線的交點，過I作AI的垂線交AB于點D，交AC于點E．求證：DI²=BD•CE．

Answer 1

分析 首先證明△ADI≌△AEI（ASA），進而得出∠BDI=∠IEC=∠BIC，即可得出△DBI∽△IBC，再求出△BIC∽△IEC，△DBI∽△EIC，即可得出答案．

解答 證明：∵AI平分∠BAC，DE⊥AI，
∴∠DAI=∠EAI．
在△ADI和△AEI中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAI=∠EAI}\\{AI=AI}\\{∠AID=∠AIE}\end{array}\right.$，
∴△ADI≌△AEI（ASA），
∴∠ADI=∠AEI，DI=EI，
∴∠BDI=∠IEC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDI=∠IEC=∠BIC，
∵I是△ABC的內(nèi)角平分線的交點，
∴∠DBI=∠CBI，
∴△DBI∽△IBC，
同理可得出：△BIC∽△IEC，
∴△DBI∽△EIC，
∴$\frac{BD}{IE}$=$\frac{ID}{EC}$，
∵DI=EI，
∴DI²=BD•CE．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠BDI=∠IEC=∠BIC是解題關(guān)鍵．