Question

閱讀下列材料：

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M、N分別在邊AB、BC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b，若，則有結(jié)論：。

請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問題：

如圖2，3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點(diǎn)P分別作△ABC三邊的垂線段PP₁、PP₂、PP₃，交BC于點(diǎn)P₁，交AB于點(diǎn)P₂，交AC于點(diǎn)P₃。

（1）若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，求證：PP₁=PP₂＋PP₃；

（2）若點(diǎn)P在線段EF上任意位置時(shí)，試探究PP₁、PP₂、PP₃的數(shù)量關(guān)系，給出證明。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，

∵BE是∠ABC的角平分線，∴ED₁= ED₂。

∵點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，且PP₂⊥AB，

∴PP₂∥ED₂。∴�！�，即。

同理，過點(diǎn)F作FG₁⊥BC于G₁，F(xiàn)G₂⊥AC于G₂，得。

在梯形EFG₁D₁中，∵公式中，m=n，

∴（梯形中位線定理）。

∴。

（2）。證明如下：

如圖，過點(diǎn)E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點(diǎn)F作FG₁⊥BC于G₁，F(xiàn)G₂⊥AC于G₂，

設(shè)，則梯形EFG₁D₁滿足公式，

∴。

公式中，當(dāng)b=0時(shí)，原梯形變?yōu)槿�角形�?/p>

∴。

∴。

∴，。

將②③代入①，得。

【解析】（1）過點(diǎn)E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點(diǎn)F作FG₁⊥BC于G₁，F(xiàn)G₂⊥AC于G₂，由角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，可得ED₁= ED₂，F(xiàn)G₁= FG₂。在△FED₂和△FEG₂中應(yīng)用三角形中位線定理，可得，。在梯形EFG₁D₁中，由公式可證得結(jié)論。

（2）同（1）過點(diǎn)E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點(diǎn)F作FG₁⊥BC于G₁，F(xiàn)G₂⊥AC于G₂，由角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，可得ED₁= ED₂，F(xiàn)G₁= FG₂。在△FED₂、△FEG₂和梯形EFG₁D₁中，由公式可求得結(jié)論。