Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點(diǎn)在y軸上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)D，B，C三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ED是⊙P的切線；

（3）若將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，E點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′會(huì)落在拋物線y=ax²+bx+c上嗎？請(qǐng)說明理由；

（4）若點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn)，平面上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（﹣4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣2），

把D（0，2）代入得a•4•（﹣2）=2，解得a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x²﹣x+2；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴=，==，

∴=，

而∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD為⊙P的直徑，

∴ED是⊙P的切線；

（3）E點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′不會(huì)落在拋物線y=ax²+bx+c上．理由如下：

∵△AED∽△COD，

∴=，即=，解得DE=3，

∵∠CDE=90°，DE＞DC，

∴△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，E點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′在射線DC上，

而點(diǎn)C、D在拋物線上，

∴點(diǎn)E′不能在拋物線上；

（4）存在．

∵y=﹣x²﹣x+2=﹣（x+1）²+

∴M（﹣1，），

而B（﹣4，0），D（0，2），

如圖2，

當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)M（﹣1，）向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N₁（﹣5，）；

當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)M，則點(diǎn)D（0，2）向右平移3個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)N₂（3，）；

當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M向左平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)D（0，2）向右平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)N₃（﹣3，﹣），

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）．