Question

【題目】有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．

(1)如圖1，在中，，是的角平分線，，分別是，上的點．求證：四邊形是鄰余四邊形；

(2)如圖2，已知，點在的垂直平分線上，在邊上，是內一點， 連接，，，，若四邊形是鄰余四邊形，是鄰余線.

①與有什么位置關系？說明理由．

②判斷形狀，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①；②是等邊三角形.

【解析】

（1）方法1：通過等腰三角形三線合一得到，，進而得到與互余，即得證.方法2：由等腰三角形性質得到，由角平分線性質得到，進而得到，即得證；（2）①根據鄰余四邊形性質可得到∠B=60°，與∠AED相等，故；②由垂直平分線性質得到AB=AC，又∠B=60°，故△ABC為等邊三角形.

解：(1)方法1：，

是的角平分線，

，

，

，

與互余.

四邊形是鄰余四邊形；

方法2：，

，

是的角平分線，

，

四邊形是鄰余四邊形；

(2)①.

理由：四邊形是鄰余四邊形，

是鄰余線，

，

，

，

，

②是等邊三角形.

理由：點在的垂直平分線上，

，

又，

是等邊三角形.