Question

【題目】如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)G是上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作BG的垂線(xiàn)交BG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D延長(zhǎng)DC交A的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BC，交OD于點(diǎn)F，BC平分∠ABD．

（1）求證：CD是的切線(xiàn)；

（2）若，探索線(xiàn)段OF與FD的數(shù)量關(guān)系；

（3）連接AD，若，，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，然后根據(jù)題意和角平分線(xiàn)的性質(zhì)可以判斷OC∥BD，由∠BDC=90°，從而以證明結(jié)論成立；
（2）利用角的性質(zhì)證得，設(shè)的半徑為r，證得，利用同高的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比得到，繼而證得結(jié)論；

（3）利用角的性質(zhì)求得，，利用求得，作，易求得，，繼而求得，再利用勾股定理即可求得答案．

（1）如圖，連接OC．

∵，BC平分，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵OC是的半徑，

∴CD是的切線(xiàn)；

（2）．

理由如下：

∵，，

∴，

∵，

∴，

設(shè)的半徑為r，則，，

∵，，

∴，，

∵BC平分，

∴F到OB、DB的距離相等，

∴，

∴，

即；

（3）∵，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

如解圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴．