Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PAB的周長最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，0）．

Answer 1

分析 因?yàn)锳B的長度是確定的，故△PAB的周長最小就是PA+PB的值最小，因?yàn)?＞5，所以點(diǎn)P在y軸上，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：∵線段AB的長度是確定的，
∴△PAB的周長最小就是PA+PB的值最小，
∵3＜5，
∴點(diǎn)P在y軸上，
如圖1，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)P，
∵A（1，1），
∴A′（-1，1），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=5}\\{-k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1\\;}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線A′B的解析式為y=x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴P（0，2）．
A′B=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$；
如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)P，
∵A（1，1），
∴A′（1，-1），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=5}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線A′B的解析式為y=3x-4，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{4}{3}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，0）．
A′B=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}=2\sqrt{10}$．
∵4$\sqrt{2}$＜2$\sqrt{10}$．
故答案為：（$\frac{4}{3}$，0）

點(diǎn)評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．