Question

已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象交于A（-2，y₁）、B（2，y₂）、C（1，y₃）三點．
（1）求二次函數(shù)y=-x²+bx+c的解析式；
（2）如圖1，設拋物線與y軸交于點D，連接DB并延長交x軸于點E，連接AB、AD、AE，求證：∠EAB=∠DAB；
（3）如圖2，連接AC、BC，在拋物線上是否存在一點P，使得S_△ABP=S_△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求得A、B、C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式；
（2）求得D的坐標個E的坐標，證明B是DE的中點，然后證明AB⊥DE即可證得；
（3）S_△ABP=S_△ABC，則P在平行于AB且經(jīng)過點C或經(jīng)過C關于AB的對稱點的直線上，求得直線的解析式，直線與二次函數(shù)的交點就是P．

解答：解：（1）把x=-2代入y=

4

x

得：y=-2，則A的坐標是（-2，-2），
同理，B的坐標是（2，2），C的坐標是（1，4），
根據(jù)題意得：

-4-2b+c=-2 -4+2b+c=2

，
解得：

b=1 c=4

．
則二次函數(shù)的解析式是：y=-x²+x+4；
（2）在y=-x²+x+4中令x=0，解得y=4，則D的坐標是（0，4），
設直線DB的解析式是y=kx+b，
則

b=4 2k+b=2

，
解得：

b=4 k=-1

，
則直線DB的解析式是y=-x+4，
令y=0，解得：x=4，
則E的坐標是（4，0）．
則B是DE的中點．
設OB的解析式是y=mx，把（2，2）代入得：k=1，則OB⊥BD，
∴∠EAB=∠DAB；
（3）設過C且平行于AB的直線的解析式是y=x+n，把C（1，4）代入得：1+n=4，
解得：n=3，
則直線的解析式是y=x+3，
解方程組：

y=x+3 y=-x2+x+4

，
解得：

x=1 y=4

或

x=-1 y=2

，
則P的坐標是（1，4）或（-1，2）；
C關于直線OB的對稱點是（4，1），
同理，過（4，1）且平行于AB的直線的解析式是：y=x-3，
則解方程組

y=x-3 y=-x2+x+4

，
解得：

x= 7 y= 7 -3

或

x=- 7 y=- 7 -3

，
則P的坐標是（

7

，

7

-3）或（-

7

，-

7

-3）．
總之，P的坐標是：（1，4）或（-1，2）或（

7

，

7

-3）或（-

7

，-

7

-3）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是y=x和y=-x．