Question

某企業(yè)去年開(kāi)始生成一種新產(chǎn)品，每件成本50元，由于新產(chǎn)品市場(chǎng)占有率較低，上市初期銷(xiāo)量逐漸減少，1至6月，月銷(xiāo)售量y₁（件）與月份x（月）滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系：隨著新產(chǎn)品逐漸得到市場(chǎng)認(rèn)可，銷(xiāo)量增加，6至12月，月銷(xiāo)售量y₂（件）與月份x（月）滿(mǎn)足二次函數(shù)關(guān)系，且6月份的月銷(xiāo)售量是該二次函數(shù)的最小值，它們的圖象如圖所示．已知1至6月每件該產(chǎn)品的售價(jià)z（元）與月份x之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：z=60+

5

2

x（1≤x≤6，x為整數(shù)）：除生成成本外，平均每銷(xiāo)售一件產(chǎn)品還需額外支出的雜費(fèi)p（元）與月份x之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：p=

1

2

x（1≤x≤6，x為整數(shù)），從7月至12月每件產(chǎn)品的售價(jià)和額外支出的雜費(fèi)均穩(wěn)定在6月的水平．

（1）根據(jù)題中圖象，求出y₁與y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出在去年1至12月，企業(yè)銷(xiāo)量該零件在哪個(gè)月獲得的利潤(rùn)W（元）最大？并求出這個(gè)最大值；
（3）今年初以來(lái)，由于物價(jià)上漲及積壓了去年未銷(xiāo)售的產(chǎn)品等因素，該企業(yè)每月均需支出雜費(fèi)6000元（不論每月銷(xiāo)售量如何，且天數(shù)不滿(mǎn)一月時(shí)，按整月計(jì)算）．為出來(lái)去年積壓的4000件庫(kù)存產(chǎn)品，該企業(yè)計(jì)劃采取新的營(yíng)銷(xiāo)策略，據(jù)銷(xiāo)售部門(mén)調(diào)研，物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單價(jià)不得高于每件75元，當(dāng)按最高單價(jià)75元銷(xiāo)售時(shí)，這批庫(kù)存產(chǎn)品月均銷(xiāo)售350件，當(dāng)單價(jià)每降低1元，月均銷(xiāo)售將增加50元．現(xiàn)有兩種銷(xiāo)售方案，一是直接按最高單價(jià)銷(xiāo)售，另一種是采用上述降價(jià)促銷(xiāo)，以獲得月均利潤(rùn)最高的方式去銷(xiāo)售，若將這批庫(kù)存產(chǎn)品全部售出，請(qǐng)比較月均獲利最多和銷(xiāo)售最高這兩種銷(xiāo)售方案，哪一種總獲利較多，多多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出即可；
（2）利用獲得的利潤(rùn)=（每件產(chǎn)品的利潤(rùn)-額外支出的雜費(fèi)）×月銷(xiāo)售量，列出函數(shù)分段對(duì)比即可；
（3）把兩種方案分別計(jì)算比較結(jié)果即可．

解答：解：（1）設(shè)y₁=kx+b，把（1，600）（4，450）代入解析式得，

k+b=600 4k+b=450

，解得

k=-50 b=650

∴y₁=-50x+650；
把x=6代入y₁得y=350；
設(shè)y₂=a（x-6）²+350，
把（10，430）代入解得a=5，
∴y₂=5（x-6）²+350；
（2）當(dāng)1≤x≤6時(shí)
W=（60+

5

2

x-50-

1

2

x）（-50x+650）
=-100（x-4）²+8100；
在4月份時(shí)，獲得的最大利潤(rùn)為8100元；
當(dāng)7≤x≤12時(shí)
W=[5（x-6）²+350]（60+6×

5

2

-50-

1

2

×6）
=110（x-6）²+7700；
∵y隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=12時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為110×（12-6）²+7700=11660元；
綜上所知12月獲得的利潤(rùn)最大，這個(gè)最大值為11660元．
（3）直接按最高單價(jià)銷(xiāo)售獲利：
（75-50）×4000-6000×

4000

350

=28000元；
降價(jià)促銷(xiāo)：
設(shè)降價(jià)x元銷(xiāo)售，所獲得的利潤(rùn)為W，由題意得
W=（75-50-x）×4000-6000×

4000

350+50x

=-4000x+100000-6000×

4000

350+50x

，
4000能被350+50x整除且符合題意，x可以取1、3、9、13，
當(dāng)x=1，W=3600O；
當(dāng)x=3，W=40000；
當(dāng)x=9，W=34000；
當(dāng)x=13，W=24000；
綜上所知降價(jià)促銷(xiāo)當(dāng)降價(jià)3元時(shí)，利潤(rùn)最大為40000元；
所以按降價(jià)促銷(xiāo)獲利最多，多40000-28000=12000元；
答：按降價(jià)促銷(xiāo)總獲利較多，多12000元．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及利用函數(shù)解決方案選擇的問(wèn)題，注意分段函數(shù)的運(yùn)用．