Question

14．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點(diǎn)E、與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)M，交AE于點(diǎn)N，連接DE
（1）求證：BC=CE；
（2）若DM=2，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形ABCD得出AD=BC，AD∥BC，進(jìn)一步證得△ADF≌△ECF，得出AD=CE，證得結(jié)論；
（2）連接FM、BF，證得四邊形AMFD是菱形，得出AN=NF，求得M是AB的中點(diǎn)，利用勾股定理求得AN，進(jìn)一步得出NE，進(jìn)一步利用勾股定理求得DE的長即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠FEC，∠ADF=∠ECF，
∵點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，
∴DF=CF，
在△ADF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠FEC}\\{∠ADF=∠ECF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AD=CE，
∴BC=CE．
（2）解：如圖，連接FM，

∵DM平分∠ADF，AF平分∠DAB，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BAF=DFN，∠ADM=∠FDM=∠AMD，
∴AD=DF=AM，
∴四邊形AMFD是菱形，
∴AF⊥DM，DN=MN=$\frac{1}{2}$DM=1，
又∵DF=FC，DC=AB=6，
∴AM=3，
∴AN=$\sqrt{A{M}^{2}-M{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AF=2AN=4$\sqrt{2}$，
∵AF=EF，
∴NE=AE-AN=6$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{N{E}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{73}$．

點(diǎn)評 此題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，正確分析條件與所求問題之間的聯(lián)系，理清思路解決問題．