Question

如圖1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D為AB的中點，M，N分別為AC，BC上的點，且DM⊥DN．
（1）求證：CM+CN=

2

BD；
（2）如圖2，若M，N分別在AC、CB的延長線上，探究CM、CN、BD之間的數(shù)量關系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根據(jù)“ASA”可判斷△CMD≌△BDN，則CM=BN；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，求出∠DCM=∠DBN=135°，然后根據(jù)“ASA”可判斷△DCM≌△DBN，推出CM=BN即可．

解答：證明：（1）如圖1，連接CD，

∵△ACB是等腰直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，
∴∠CDB=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDC=∠BDN=90°-∠CDN，
在△CMD和△BND中，

∠CDM=∠NDB CD=BD ∠MCD=∠B

，
∴△CMD≌△BND（ASA），
∴DM=BN，
在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CD=BD，由勾股定理得：BC=

2

BD，
即CM+CN=BN+CN=BC=

2

BD；

（2）解：CN-CM=

2

BD，
理由是：如圖2，連接CD，

∵△ACB是等腰直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，
∴∠CDB=90°，∠DCM=∠DBN=135°，
∵DM⊥DN，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDC=∠BDN=90°-∠CDN，
在△CMD和△BND中，

∠CDM=∠NDB CD=BD ∠MCD=∠B

，
∴△CMD≌△BND（ASA），
∴DM=BN，
在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CD=BD，由勾股定理得：BC=

2

BD，
即CN-CM=CN-BN=BC=

2

BD．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，能推出△CMD≌△BND是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．