Question

如圖，在Rt△ABC中，點P在斜邊AB上移動，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分別為垂足，AC=1，AB=2，則何時矩形PMCN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,二次函數的最值

專題：

分析：設PA=x 矩形PMCN的面積為y 則BP=AB-AP=2-x，由勾股定理可求出BC的長，再根據相似三角形的性質可得到PM，PN的值，根據矩形的面積公式計算即可．

解答：解：設PA=x 矩形PMCN的面積為y 則BP=AB-AP=2-x，
在直角△ABC中：∵AC=1 AB=2，
∴BC=

3

，
∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM‖AC，PN‖BC，
∴

PM

AC

=

BP

BA

，

PA

AB

=

PN

BC

，
∴

PM

1

=

2-x

2

，

x

2

=

PN

3

，
∴PM=

2-x

2

，PN=

3

2

，
∴y=PM×PN=

2-x

2

×

3

2

x=

3

4

（2x-x²），
=-

3

4

（x-1）²+

3

4

∴當x=1時，即PA=1，P是AB的中點時矩形PMCN的面積最大，最大面積是

3

4

．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理的運用，相似三角形的判定與性質，矩形的面積公式的運用，二次函數的頂點式的運用及最值的確定．