Question

9．在半徑為13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距離為7，且兩弦在圓心O的異側(cè)，若AB=24，則CD的長為2$\sqrt{165}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建直角三角形，由弦AB和CD的距離為7，得EF=7，根據(jù)垂徑定理得：ED=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×24=12，先利用勾股定理求OF的長，則OE=2，所以得ED的長，即得出CD的長．

解答 解：過O作OE⊥CD于E，延長EO交AB于F，連接OD、OB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴ED=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×24=12，
∵⊙O的半徑為13，
∴OD=OB=13，
在Rt△OFB中，OF=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∵EF=7，
∴OE=7-5=2，
∴ED=$\sqrt{1{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{165}$，
∴CD=2ED=2$\sqrt{165}$．

點評 本題考查了垂徑定理和兩平行線的距離，作弦心距和連接半徑是圓中常作的輔助線，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理求邊長；本題有“兩弦在圓心O的異側(cè)“這一條件，如果沒有這一條件要分兩種情況進行討論．