Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為$\sqrt{5}$，設(shè)⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點為E．
（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）若F在拋物線第四象限上，求使四邊形OBFC的面積最大時的點F的坐標(biāo)；
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，可得CN的長，可得M點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)面積的和差，可得△BCF，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得P點坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，
，
由題意可知C（0，-3），
∴拋物線的解析式為y=ax²-2ax-3（a＞0），過M作MN⊥y軸于N，連結(jié)CM，則MN=1，
∴CN=2，于是m=-1．
同理可求得B（3，0），
∴a×3²-2-2a×3-3=0，得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）如圖2，
，
由B（3，0），C（0，-3）得BC的解析式為y=x-3，E點在BC上，F(xiàn)在拋物線上，
設(shè)F（m，m²-2m-3），E（m，m-3），EF=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m，
S_△BCF最大時，S_OBCF最大．
S_△BCF=$\frac{1}{2}$EF•x_B=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，S_△BCF最大=$\frac{27}{8}$，
m=$\frac{3}{2}$，m²-2m-3=$\frac{9}{4}$-3-3=-$\frac{15}{4}$，即F（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0，解得x=-1，x=3，即A（-1，0），B（3，0），
y=（x-1）²-4，即E（1，-4）．
由勾股定理得AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
①顯然Rt△COA∽Rt△BCE，此時點P₁（0，0），
②過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，如圖3，

由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得，
$\frac{A{P}_{2}}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{A{P}_{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，AP₂=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
OP₂=$\sqrt{A{{P}_{2}}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P₂（0，$\frac{1}{3}$）
③過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，如圖4，

由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得
$\frac{C{P}_{3}}{BC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{C{P}_{3}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，CP₃=$\sqrt{10}$．
OP₃=$\sqrt{C{{P}_{2}}^{2}-O{C}^{2}}$=9，
P₃（9，0），
故在坐標(biāo)軸上存在三個點P₁（0，0），P₂（0，$\frac{1}{3}$），P₃（9，0），使得以P、A、C為頂點的三角形與BCE相似．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用勾股定理得出B點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用三角形的面積得出二次函數(shù)得出二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的性質(zhì)得出P點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．