Question

如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．
（1）感悟以下解題方法，并完成填空：
將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合．由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°∵∠1=∠2∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠

 

．
又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌

 

∴

 

=EF，故DE+BF=EF
（2）方法遷移：如圖2，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=

1

2

∠DAB，試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)圖形和推理過程填空即可；
（2）將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABHG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AH=AE，BH=DE，∠1=∠2，再求出∠HAF=∠EAF，再判斷出點(diǎn)H、B、F三點(diǎn)共線，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AHF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=HF，再根據(jù)HF=BH+BF等量代換即可得證．

解答：解：（1）將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，
由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，
即∠GAF=∠EAF，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
故DE+BF=EF；
故答案為：EAF，△EAF，GF；

（2）如圖，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABHG，
由旋轉(zhuǎn)可得，AH=AE，BH=DE，∠1=∠2，
∵∠EAF=

1

2

∠DAB，
∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3=

1

2

∠BAD，
∴∠HAF=∠EAF，
∵∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+90°=180°，
∴點(diǎn)H、B、F三點(diǎn)共線，
在△AEF和△AHF中，

AH=AE ∠HAF=∠EAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF=HF，
∵HF=BH+BF，
∴EF=DE+BF．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解題目提供的證明思路和方法是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．