Question

如圖，在⊙O中，已知A是劣弧

BC

中點(diǎn)，連接OA并延長(zhǎng)與BC交于點(diǎn)E，交⊙O的切線DC于點(diǎn)D，∠D=30°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）若AB=6，求圖中弓形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接OC，則∠OCD=90°，可求得∠DOC=60°，利用圓周角定理可求得∠ABC=

1

2

∠DOC=30°；
（2）由A為

BC

的中點(diǎn)可知∠AOB=∠AOC=60°，可得△AOB為等邊三角形，所以容易求得扇形AOB和△AOB的面積，從而可求得陰影部分的面積．

解答：解：（1）如圖1，連接OC，

∵CD為⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，且∠D=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠ABC=

1

2

∠DOC=30°；
（2）如圖2，連接OB，

∵A為

BC

的中點(diǎn)，
∴∠BOA=∠AOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=AB=6，
∴S_扇形AOB=

1

6

π•OA²=6π，S_△AOB=

3

4

OA²=9

3

，
∴S_陰影=S_扇形AOB-S_△AOB=6π-9

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理、扇形的有關(guān)計(jì)算，連接OC是解決切線問(wèn)題的常用輔助線．求得∠AOB=60°是求陰影部分面積的關(guān)鍵．