Question

（2012•晉江市質檢）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：
（1）填空：CQ=

t

，AQ=

8-t

（用含t的式子表示）；
（2）當t為何值時，點P在以AQ為直徑的⊙M上？
（3）當P、Q、F三點在同一條直線上時，如圖（3），求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得出EC=QC，進而得出AQ的長；
（2）根據相似三角形的判定得出△ABC∽△AQP，進而表示出AP，AQ，利用相似三角形的性質求出即可；
（3）首先證明△PAN∽△BAC，再得出△QCF∽△QNP，即可得出

PN

FC

=

NQ

CQ

，求出t的值即可．

解答：解：（1）∵∠QCE=90°，∠DEF=45°，
∴EC=CQ，
∴CQ=t，AQ=AC-QC=8-t，
故答案為：t，8-t；

（2）若點P在AQ為直徑的⊙M上，如圖2，則必須有∠APQ=90°，
由題意得出，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB=90°，
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△AQP，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，
由題意得出：BP=2t，EC=t，
在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
由勾股定理得出：AB=

AC2+BC2

=10（cm），
∴AP=10-2t由（1）得：
AQ=8-t，
∴

10-2t

8

=

8-t

10

，
解得：t=3，
∴當t=3s時，點P在以AQ為直徑的⊙M上，

（3）當點P、Q、F三點在同一直線上時，如圖3，過P作PN⊥AC于點N，
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC，
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

，
∴

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

，
∴PN=6-

6

5

t，
AN=8-

8

5

t，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t，
∵∠ACB=90°，
∵點B、C（E）、F三點在同一直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP，
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

，
∵0＜t＜4.5，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3

5

，
解得：t=1．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理的應用等知識，正確利用相似三角形的性質得出PN，AN的長度是解題關鍵．