Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標；

（3）如圖b，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（﹣1，4）或（﹣1+，﹣4）或（﹣1﹣，﹣4）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，然后解方程組即可；（2）先求出點B的坐標（1,0），然后利用S△AOP=4S△BOC，求出點P的橫坐標，代入y=﹣x2﹣2x+3即可求出縱坐標；（3）用待定系數法求成直線AC的解析式y(tǒng)=x+3，設出Q點坐標為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），然后用x表示出線段DQ長度，利用配方法可確定其最大值．

試題解析：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得．

解得．

故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，則易得B（1，0）．

∵S△AOP=4S△BOC，

∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，

解得x=﹣1或x=﹣1±．

則符合條件的點P的坐標為：（﹣1，4）或（﹣1+，﹣4）或（﹣1﹣，﹣4）；

（3）設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，3）代入，

得，

解得．

即直線AC的解析式為y=x+3．

設Q點坐標為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），

QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

∴當x=﹣時，QD有最大值．