Question

19．如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，6），且經(jīng)過點（4，2）．P是拋物線上x軸上方一點，且在對稱軸右側(cè)，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N．設(shè)點P橫坐標(biāo)為m．
（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)四邊形OMPN為正方形時，求m的值．
（3）求四邊形OMPN的周長的最大值．
（4）若直線PN與這條拋物線的另一個交點為點Q，直接寫出$\frac{1}{3}$≤QN≤1時m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)正方形的邊長相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)矩形的周長公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（4）根據(jù)函數(shù)值相等兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得Q點的坐標(biāo)，根據(jù)QN的長，可得不等式組，根據(jù)解不等式組，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，6），
∴設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-2）²+6．
∵拋物線經(jīng)過點（4，2），
∴a（4-2）²+6=2，解得a=-1．
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-（x-2）²+6，即y=-x²+4x+2；
（2）∵點P在拋物線y=-x²+4x+2上，且點P的橫坐標(biāo)為m，
∴P點坐標(biāo)為 P（m，-m²+4m+2）．
當(dāng)四邊形OMPN為正方形時，PN=PM，
∴m=-m²+4m+2．
解得m₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ （舍去）．
∵拋物線y=-x²+4x+2與x軸正半軸的交點為（2+$\sqrt{6}$，0），
且2＜$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$＜2+$\sqrt{6}$，
∴m的值為$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$．
（3）設(shè)四邊形OMPN的周長為C，
C=2m+2（-m²+4m+2）=-2m²+10m+4=-2（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{33}{2}$．
∵a=-2＜0，2＜$\frac{5}{2}$＜2+$\sqrt{6}$，
∴當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時，四邊形OMPN周長的最大值為$\frac{33}{2}$．
（4）如圖，
點Q與點P（m，-m²+4m+2）關(guān)于x=2對稱，得
Q（4-m，-m²+4m+2）．
①當(dāng)m＜4時，由$\frac{1}{3}$≤QN≤1時，得
$\frac{1}{3}$≤4-m≤1，解得3≤m≤$\frac{11}{3}$；
②當(dāng)m＞4時，由$\frac{1}{3}$≤QN≤1時，得
$\frac{1}{3}$≤m-4≤1，解得，$\frac{13}{3}$≤m＜2+$\sqrt{6}$；
綜上所述，若直線PN與這條拋物線的另一個交點為點Q，直接寫出$\frac{1}{3}$≤QN≤1時m的取值范圍3≤m≤$\frac{11}{3}$或$\frac{13}{3}$≤m＜2+$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，把拋物線的解析式設(shè)為頂點式是解題關(guān)鍵；利用了正方形的性質(zhì)；利用矩形的周長公式得出二次函數(shù)的解析是解題關(guān)鍵；利用函數(shù)值相等兩點關(guān)于對稱軸對稱得出Q點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．