Question

構(gòu)建一個(gè)圖形，求出22.5°和67.5°的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延長(zhǎng)CB到D，使BD=AB，連接AD，設(shè)AC=BC=x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABC=45°，AB=

2

x，由于AB=BD=

2

x，則∠D=∠BAD，利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠D=22.5°，所以∠CAD=67.5°，然后在Rt△ADC中，根據(jù)正切的定義求解．

解答：解：如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延長(zhǎng)CB到D，使BD=AB，連接AD，
設(shè)AC=BC=x，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，AB=

2

x，
∵BD=AB=

2

x，
∴∠D=∠BAD，
而∠ABC=∠D+∠BAD，
∴∠D=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠CAD=67.5°，
在Rt△ADC中，tan∠D=

AC

CD

=

x

2 x+x

=

2

-1，
tan∠CAD=

CD

AC

=

2 x+x

x

=

2

+1，
即22.5°和67.5°的正切值分別為

2

-1，

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．充分利用特殊角的三角函數(shù)值解決問(wèn)題．