Question

1．在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN，若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE和BF交于點(diǎn)P．如圖，點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線AM，BN交于點(diǎn)C；且∠ACB=60°時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，當(dāng)AM∥BN時(shí)：
（1）點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)求出∠APB的度數(shù)，寫出AF，BE，AB長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系，并給予證明；
（2）設(shè)點(diǎn)Q為線段AE上一點(diǎn)，QB=5，若AF+BE=16，四邊形ABEF的面積為32$\sqrt{3}$，求AQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 點(diǎn)點(diǎn)的兩個(gè)結(jié)論：①利用三角形的角平分線和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；
②先判斷出△PAG≌△PAF（SAS）得出∠AFP=∠AGP，結(jié)合同角的補(bǔ)角相等即可得出∠BGP=∠BEP，進(jìn)而判斷出△BPG≌△BPE（AAS），即可得出結(jié)論；
（1）由角平分線和平行線整體求出∠MAB+∠NBA，從而得到∠APB=90°，最后用等邊對(duì)等角，即可．
（2）先根據(jù)條件求出AF，F(xiàn)G，求出∠FAG=60°，最后分兩種情況討論計(jì)算．

解答 解：點(diǎn)點(diǎn)的結(jié)論：①∵∠ACB=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠PBA）=60°，
∴∠APB=120°，
②如圖，在AB上取一點(diǎn)G，使AG=AF，
∵AE是∠BAM的角平分線，
∴∠PAG=∠PAF，
在△PAG和△PAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠PAF=∠PAB}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△PAF（SAS），
∴∠AFP=∠AGP，
∵∠EPF=∠APB=120°，∠ACB=60°，
∴∠EPF+∠ACB=180°，
∴∠PFC+∠PEC=180°，
∵∠PFC+∠AFP=180°，
∴∠PEC=∠AFP，
∴∠PEC=∠AGP，
∵∠AGP+∠BGP=180°，
∴∠PEC+∠BGP=180°，
∵∠PEC+∠PEB=180°，
∴∠BGP=∠BEP，
∵BF是∠ABC的角平分線，
∴∠PBG=∠PBE，
在△BPG和△BPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGP=∠BEP}\\{∠PBG=∠PBE}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPG≌△BPE（AAS），
∴BG=BE，
∴AF+BE=AB．
（1）原命題不成立，新結(jié)論為：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），
理由：∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∵AE，BF分別平分∠MAB，NBA，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠MAB，∠FBA=$\frac{1}{2}$∠NBA，
∴∠EAB+∠FBA=$\frac{1}{2}$（∠MAB+∠NBA）=90°，
∴∠APB=90°，
∵AE平分∠MAB，
∴∠MAE=∠BAE，
∵AM∥BN，
∴∠MAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AF=AB，
∴AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）；
（2）如圖1，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，
∵AF=BE，AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AF+BE=16，
∴AB=AF=BE=8，
∵32$\sqrt{3}$=8×FG，
∴FG=4$\sqrt{3}$，
在Rt△FAG中，AF=8，
∴∠FAG=60°，
當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上時(shí)，∠FAB=60°，
當(dāng)點(diǎn)G在線段BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠FAB=120°，
①如圖2，

當(dāng)∠FAB=60°時(shí)，∠PAB=30°，
∴PB=4，PA=4$\sqrt{3}$，
∵BQ=5，∠BPA=90°，
∴PQ=3，
∴AQ=4$\sqrt{3}$-3或AQ=4$\sqrt{3}$+3．
②如圖3，

當(dāng)∠FAB=120°時(shí)，∠PAB=60°，∠FBG=30°，
∴PB=4$\sqrt{3}$，
∵PB=4$\sqrt{3}$＞5，
∴線段AE上不存在符合條件的點(diǎn)Q，
∴當(dāng)∠FAB=60°時(shí)，AQ=4$\sqrt{3}$-3或4$\sqrt{3}$+3．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是用勾股定理計(jì)算線段．