Question

11．水利部門決定對某水庫大壩進行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD．如圖所示，已知迎水坡面AB的長為4米，∠B=60°，背水坡面CD的長為4$\sqrt{3}$米，加固后大壩的橫截面積為梯形ABED，CE的長為2米．
（1）已知需加固的大壩長為150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后的大壩背水坡DE的坡度．

Answer 1

分析 （1）分別過A、D作下底的垂線，設垂足為F、G．在Rt△ABF中，已知坡面長和坡角的度數(shù)，可求得鉛直高度AF的值，也就得到了DG的長；以CE為底，DG為高即可求出△CED的面積，再乘以大壩的長度，即為所需的填方體積；
（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的長，即可得到GE的長；Rt△DEG中，根據(jù)DG、GE的長即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比．

解答 解：（1）分別過A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂點分別為F、G，如圖所示．
∵在Rt△ABF中，AB=4米，∠B=60°，
sinB=$\frac{AF}{AB}$，
∴在矩形AFGD中，AF=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（米），DG=AF=2 $\sqrt{3}$米
∴S_△DCE=$\frac{1}{2}$×CE×DG=$\frac{1}{2}$×2×2 $\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$（平方米）
需要填方：150×2$\sqrt{3}$=300$\sqrt{3}$（立方米）；

（2）在直角三角形DGC中，DC=4$\sqrt{3}$米，
∴GC=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=6米，
∴GE=GC+CE=8米，
坡度i=DG：GE=2$\sqrt{3}$：8=$\sqrt{3}$：4．

點評 此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運用能力．解題的關鍵是牢記坡度是豎直高度與水平寬度的比值．