Question

3．已知：如圖，等邊△ABC中，D為BC上一點(diǎn)．CE為△ABC的外角角平分線，連接DE，若DE=DA，求證：△ADE為等邊三角形．

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC．由條件證明△ABD≌△ACE就可以得出AD=AE，∠1=∠3，得出∠DAE=60°就可以得出△ADE為等邊三角形．

解答 證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC．
∴∠ACF=120°．
∵CE平分∠ACF，
∴∠4=$\frac{1}{2}$∠ACF=60°，
∴∠B=∠4．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠4}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠1=∠3．
∵∠1+∠2=60°，
∴∠2+∠3=60°．
即∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．