Question

如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3，∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處（如圖1）．
（1）若折疊后點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），求θ的值；
（2）若θ=45°，四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點(diǎn)C落在四邊形OABC的邊AB上，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）如圖2，作輔助線，首先證明DM=DN，進(jìn)而證明∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ，問題即可解決．
（2）如圖3，運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)得到OE=OC=5，DE=BC=3；證明AE=DE，問題即可解決．

解答：解：（1）如圖1，連接MD并延長，交OA的延長線于點(diǎn)N；
∵BM∥AN，
∴△BMD∽△AND，
∴

MD

ND

=

BD

AD

，而BD=AD，
∴MD=ND；
由題意得：∠ODM=∠C=90°，∠MOD=∠MOC=θ；
∴OD是線段MN的垂直平分線，
∴OM=ON，
∴OD平分∠MON，
∴∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ，
∵∠AOC=90°，
∴θ=30°．

（2）如圖2，由題意得：
l⊥AB，OE=OC=5，DE=BC=3；
∠OED=∠C=90°；
∵∠AOF=45°，l⊥AB，
∴∠A=45°，∠ADE=90°-45°=45°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE=3，
∴OA=5+3=8，
即a的值為8．

點(diǎn)評(píng)：該題以梯形為載體，以翻折變換為方法，以梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的考查為核心構(gòu)造而成；對(duì)對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．