Question

4．如圖1，二次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x²+bx+c與一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x-3的圖象都經(jīng)過(guò)x軸上點(diǎn)A（4，0）和y軸上點(diǎn)B（0，-3），過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜4）作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AB于點(diǎn)C，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P．
（1）求b，c的值；
（2）點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，能否使△PBC為直角三角形？如果能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)，設(shè)△PCD的面積為S₁，△ACM的面積為₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{36}{25}$，
①求m的值；
②如圖3，將線(xiàn)段OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接M'A、M'B，求M'A+$\frac{2}{3}$M'B的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形討論即可．①當(dāng)∠PBC=90°時(shí)（如圖1-1中），作PK⊥y軸于K．②當(dāng)∠BPC=90°時(shí)（如圖1-2中），BP∥x軸．分別列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）①由△PCD∽△ACM，可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{PC}{AC}$）²=$\frac{36}{25}$，推出$\frac{PC}{AC}$=$\frac{6}{5}$，由CM∥OB，推出$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AM}{AO}$，推出AC=$\frac{5}{4}$（4-m），由拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，可得PC=$\frac{3}{4}$m-3-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m，列出方程，即可解決問(wèn)題．
②如圖3中，在y軸上取一點(diǎn)E，使得OE=$\frac{4}{3}$，連接M′E，AE．由OM′=2，OE•OB=$\frac{4}{3}$×3=4，推出OM²=OE•OB，推出$\frac{OM′}{OB}$=$\frac{OE}{OM′}$，由∠M′OE=∠BOM′，可知△M′OE∽△BOM′，推出$\frac{M′E}{BM′}$=$\frac{OM′}{OB}$=$\frac{2}{3}$，推出M′E=$\frac{2}{3}$BM′，所以AM′+$\frac{2}{3}$BM′=AM′+M′E，所以當(dāng)A、M′、E共線(xiàn)時(shí)，AM′+$\frac{2}{3}$BM′的值有最小值．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{9}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$．

（2）若△PBC為直角三角形，顯然∠PCB≠90°．
①當(dāng)∠PBC=90°時(shí)（如圖1-1中），作PK⊥y軸于K，則∠PBK=∠BAO=90°-∠ABO，
∴tan∠PBK=$\frac{m}{-3-（\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{9}{4}m-3）}$=$\frac{3}{4}$，
解得m=$\frac{11}{9}$或0（舍棄），
∴P（$\frac{11}{9}$，-$\frac{125}{27}$），

②當(dāng)∠BPC=90°時(shí)（如圖1-2中），BP∥x軸，
當(dāng)y=-3時(shí)，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3=-3，解得m=3或0（舍棄），
∴P（3，-3），
綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{11}{9}$，-$\frac{125}{27}$）或（3，-3）．

（3）①如圖2中，∵PD⊥AB，PM⊥OA，
∴∠PDC=∠AMC，
∵∠PCD=∠ACM，
∴△PCD∽△ACM，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{PC}{AC}$）²=$\frac{36}{25}$，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{6}{5}$，
∵CM∥OB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AM}{AO}$，
∴AC=$\frac{5}{4}$（4-m），
∵拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴PC=$\frac{3}{4}$m-3-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m，
∴$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}+3m}{\frac{5}{4}（4-m）}$=$\frac{6}{5}$，
解得m=2或4（舍棄），
∴m=2．

②如圖3中，在y軸上取一點(diǎn)E，使得OE=$\frac{4}{3}$，連接M′E，AE．
∵OM′=2，OE•OB=$\frac{4}{3}$×3=4，
∴OM²=OE•OB，
∴$\frac{OM′}{OB}$=$\frac{OE}{OM′}$，
∵∠M′OE=∠BOM′，
∴△M′OE∽△BOM′，
∴$\frac{M′E}{BM′}$=$\frac{OM′}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴M′E=$\frac{2}{3}$BM′，
∴AM′+$\frac{2}{3}$BM′=AM′+M′E，
∴當(dāng)A、M′、E共線(xiàn)時(shí)，AM′+$\frac{2}{3}$BM′的值有最小值=AE=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、直角三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，所以中考?jí)狠S題．