Question

如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，連接EP，作等邊△EPQ，連接FQ、EF。

（1）若等邊的邊長(zhǎng)為20，且，求等邊的邊長(zhǎng)；

（2）求證：。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)在△BEP中，由條件可知∠B=60°，∠BPE=45°，BE=10，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，通過解直角三角形即可求出EP的長(zhǎng)；

（2）取BC邊中點(diǎn)N，可證明△ENP≌△EFQ，故NP=FQ.在△ABC中易證△EBN為等邊三角形，從而可證BP=EF+FQ.

試題解析：（1）過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，

∵等邊△ABC

∴∠B=60°

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴BE=AB=10

在Rt△BEM中，

∴

∴

在Rt△EMP中，

∴

∴，即等邊△EPQ的邊長(zhǎng)為

（2）證明：取BC的中點(diǎn)N，連接NE

∵等邊△ABC

∴AB=BC

∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)

∴EF=BC，BE=AB，BN=BC，EF∥BC

∴EF=BE=BN

∵∠B=60°

∴△EBN是等邊三角形

∴EN=BN=EF  ∠ENB=60°

∵EF∥BC

∴∠FEN=60°

∴∠1+∠2=60°

∵等邊△EPQ

∴EP=EQ, ∠PEQ=60°

∴∠2+∠3=60°

∴∠1=∠3

在△ENP和△EFQ中

∴△ENP≌△EFQ

∴NP=FQ

∴BP=BN+NP=EF+FQ

考點(diǎn):1.解直角三角形；2.等邊三角形的判定與性質(zhì).