Question

4．如圖所示，已知拋物線y=ax²-4x-5（a＞0，a為常數(shù)）與一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b（b為常數(shù)）交于點(diǎn)M（6，n），直線y=$\frac{1}{2}$x+b與x軸及y軸交于兩點(diǎn)A、B，△AOB的周長是12+4$\sqrt{5}$，拋物線y=ax²-4x-5與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D、E（點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)）．
（1）確定a、b、n及tan∠BAO的值；
（2）確定一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b與拋物線y=ax²-4x-5的另一個(gè)交點(diǎn)N的坐標(biāo)，并計(jì)算線段MN的長度；
（3）試確定在拋物線及對(duì)稱軸上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得四邊形C、E、Q、P是平行四邊形？如果存在請(qǐng)直接寫出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）用b表示A、B坐標(biāo)，根據(jù)△AOB周長求出b，再求出點(diǎn)M坐標(biāo)，即可解決問題．
（2）列方程組解方程組即可解決問題．
（3）分CE為對(duì)角線，CE為邊兩種情形討論即可．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}$x+b與x軸及y軸交于兩點(diǎn)A、B，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（-2b，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（0，b），
∴OB=b，OA=2b，AB=$\sqrt{5}$b，
∵△AOB的周長為12+4$\sqrt{5}$，
∴3b+$\sqrt{5}$b=12+4$\sqrt{5}$，
∴b=4，
∴直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x+4，把點(diǎn)M（6，n）代入得到n=7，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（6，7），代入拋物線解析式得到：7=36a-24-5，
∴a=1，
∴OB=4，OA=8，
∴tanBAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
∴a=1，b=4，n=7，tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y={x}^{2}-4x-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b與拋物線y=ax²-4x-5的另一個(gè)交點(diǎn)N的坐標(biāo)（-$\frac{3}{2}$，$\frac{13}{4}$）．
∴MN=$\sqrt{（-\frac{3}{2}-6）^{2}+（\frac{13}{4}-7）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{5}}{4}$．
（3）如圖，點(diǎn)C（0，-5），點(diǎn)E（5，0），拋物線頂點(diǎn)（2，-9），
①當(dāng)CE為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P₁與頂點(diǎn)重合時(shí)，四邊形CP₁EQ₁是平行四邊形，
∵P₁（2，-9），CE與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)G（2，-2.5），
∴GP₁=GQ₁=6.5，
∴Q₁（2，4）．
②當(dāng)CE為邊時(shí)，∵CE=P₂Q₂，
∴|x_Q-x_P|=|x_E-x_C|=5，|y_E-y_C|=|y_Q-y_P|=5，
∴P₂、P₃的橫坐標(biāo)分別為-3，7，
∵x=-3時(shí)，y=12，x=7時(shí)，y=16，
∴P₂（-3，16），Q₂（2，17），P₃（7，16），Q₃（2，12）．
綜上所述P₁（2，-9），Q₁（2，4），P₂（-3，16），Q₂（2，17），P₃（7，16），Q₃（2，12）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、兩點(diǎn)間距離公式、平行四邊形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)分類討論，屬于中考?jí)狠S題．