Question

12．如圖，正方形ABCD中，點E、F為對角線BD上兩點，DE=BF，若BF=2，tan∠DAE=$\frac{1}{2}$，求四邊形AECF的周長．

Answer 1

分析 如圖，連接AC交BD于點O．，作EM⊥AD于M，先證明四邊形AECF是菱形，在RT△AME中，求出AM、EM即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AC交BD于點O．，作EM⊥AD于M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，∠ADB=45°
∵DE=BF，
∴OE=OF，OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=AF，
在RT△DME中，∵∠DME=90°，∠MDE=45°，DE=BF=2，
∴DM=ME=$\sqrt{2}$，
∵tan∠EAM=$\frac{1}{2}$=$\frac{EM}{AM}$，
∴AM=2EM=2$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴四邊形AECF的周長=4AE=4$\sqrt{10}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．