Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫圓弧交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P在弧AE上，過(guò)點(diǎn)P作弧AE的切線，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，若MN恰好平分矩形ABCD的面積，則切線MN的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)題意過(guò)BD的中點(diǎn)O弧AE的切線有兩條，①E點(diǎn)就是P點(diǎn)，此時(shí)MN=EF=3，②根據(jù)切線長(zhǎng)定理和勾股定理即可求得MN．

解答： 解：①連接BD，過(guò)O點(diǎn)作弧AE的切線，則MN恰好平分矩形ABCD的面積，
∵過(guò)O、E兩點(diǎn)的直線正好是弧AE的切線，切點(diǎn)為E，
∴EF的長(zhǎng)就是MN的長(zhǎng)，
∵AB=3，
∴EF=3，
∴MN=EF=3；
②過(guò)O點(diǎn)作弧AE的另一條切線MN，切點(diǎn)為P，
∵AB是圓的半徑，且AD⊥AB，
∴AD是圓B的切線，
∴AM=PM，OP=OE，
∵OE=OF=

1

2

CD=

1

2

AB=

3

2

，
∴OP=

3

2

，
設(shè)AM=x，則MP=x，MF=3-x，
在RT△MFO中，（3-x）²+（

3

2

）²=（

3

2

+x）²，
解得，x=1，
∴MF=3-1=2，
∴OM=

MF2+OF2

=

5

2

，
∴MN=2OM=5，
綜上，切線MN的長(zhǎng)為3或5．
故答案為3或5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用等，過(guò)O點(diǎn)可以作兩條切線是本題的重點(diǎn)．