Question

⊙O的直徑為10cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB和CD的距離是

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：分類討論

分析：分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，過O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂徑定理得到E與F分別為CD與AB的中點(diǎn)，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的長，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的長，由OE-OF即可求出EF的長；當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，同理由OE+OF求出EF的長即可．

解答：解：分兩種情況考慮：
當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，
過O作OF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，連接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴F、E分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴AF=BF=

1

2

AB=4，CE=DE=

1

2

CD=3，
在Rt△COE中，
∵OC=5，CE=3，
∴OE=

52-32

=4，
在Rt△AOF中，OA=5，AF=4，
∴OF=

52-42

=3，
∴EF=OE-OF=4-3=1；
當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，同理可得EF=4+3=7，
綜上，弦AB與CD的距離為7或1．
故答案為：7或1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．