Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB的垂線，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，MN⊥AC于點(diǎn)N，PQ⊥AB于點(diǎn)Q，AQ=MN．求證：PC=AN．

Answer 1

分析：確定一對(duì)全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到PC=PQ；從而得到PC=AN．

解答：證明：∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB MN⊥AC，
∴AQ=MN，
在△AQP和△MNA中，

∠PAQ=∠AMN ∠PQA=∠ANM=90° AQ=MN

∴△AQP≌△MNA（ASA）
∵AN=PQ AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分線的性質(zhì)），
∴PC=AN．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)．題干中給出的條件較多，圖形復(fù)雜，難度較大，對(duì)考生能力要求較高；解題時(shí)，需要認(rèn)真分析題意，以圖形的全等為主線尋找解題思路．解答中提供了多種解題方法，可以開拓思路，希望同學(xué)們認(rèn)真研究學(xué)習(xí)．