Question

1．如圖，已知點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠BAP=∠BCP=15°．
（1）求證：AP=CP；
（2）若E為AP延長線上一點(diǎn)，且BE=BC，試問：線段AP、BP、PE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出這個關(guān)系式，并加以證明；
（3）CP=2時，AD的長為$\sqrt{6}$．（直接寫出結(jié)果，不需要寫過程）

Answer 1

分析 （1）只要證明∠PAC=∠PCA即可．
（2）連接CE，在PE上截取一點(diǎn)N使得CN=CP，先證明△BCE，△CPN多少等邊三角形，再證明△CBP≌△CEN即可解決問題．
（3）延長BP交AC于點(diǎn)O，在RT△POC中求出OC，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠BAP=∠BCP=15°，
∴∠PAC=∠PCA=30°，
∴PA=PC．
（2）結(jié)論：PE=PA+PB．
證明：連接CE，在PE上截取一點(diǎn)N使得CN=CP，
∵BE=BC=AB，
∴∠BAE=∠BEA=15°，
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠BEA=150°，∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=60°，∵BC=BE，
∴△BCE是等邊三角形，
∴CE=CB=BE，∠BCE=60°，
∵∠PCK+∠CPK+∠CKP=180°，∠BKE+∠KBE+∠BEK=180°，∠PKC=∠BKE，∠PCK=∠AEB=15°，
∴∠CPK=∠KBE=60°，∵CP=CN，
∴△CPN是等邊三角形，
∴∠PCN=∠BCE=60°，CP=CN=PN，
∴∠PCB=∠ECN，
在△CBP和△CEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CE}\\{∠PCB=∠ECN}\\{CP=CN}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△CEN，
∴PB=EN，∵PA=PC=PN，
∴PE=PN+NE=PC+PB=PA+PB．
（3）延長BP交AC于點(diǎn)O，
∵PA=PC，BA=BC，
∴PB垂直平分線段AC，
∴AO=OC，∠POC=90°，
∵∠PCO=30°，PC=2，
∴PO=$\frac{1}{2}$PC=1，OC=OA=$\sqrt{P{C}^{2}-P{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
設(shè)AD=CD=a，則a²+a²=（2$\sqrt{3}$）²，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{6}$，
∴AD=$\sqrt{6}$．
故答案為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，出現(xiàn)60°要想到這種輔助線的添加方法，屬于中考�？碱}型．