Question

10．已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG，請(qǐng)?zhí)骄浚?br />（1）線段AE與CG是否相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求證：△ABE∽△DEH；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí)，DH的長(zhǎng)度最大，最大長(zhǎng)度是多少？

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)和互余得到，判斷全等三角形；
（2）由正方形的性質(zhì)和互余得到三角形相似；
（3）由△ABE∽△DEH得到比例式，計(jì)算即可．

解答 （1）解：AE=CG，
理由如下：
∵四邊形ABCD，BEFG都為正方形，
∴AB=BC，BE=BG，∠ABE=∠CBG，
在△ABE和△CBG中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG
（2）證明：∵四邊形ABCD，EFGB都為正方形，
∴∠AEB+DEF=90°
∵∠DEF+DHE=90°，
∴∠AEB=DHE，
∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEH
（3）設(shè)DH=y，AE=x，則DE=1-x，
∵△ABE∽△DEH，
∴$\frac{DH}{AE}=\frac{DE}{AB}$，
∴$\frac{y}{x}=\frac{1-x}{1}$，
∴y=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y_max=$\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)點(diǎn)E在AD的中點(diǎn)時(shí)，DH的最大值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似的綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等和相似，解本題的關(guān)鍵是有全等和相似得到線段的關(guān)系．