Question

如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．則下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S_△EGC=S_△AFE；⑤∠AGB+∠AED=135°．其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：結(jié)合條件可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，在Rt△EGC中由勾股定理可求得BG=CG=3，BG+CG=6，滿足條件，利用外角的性質(zhì)可求得∠AGB=∠GCF，可得AG∥CF，可求得S_△EGC=S_△AFE=6，利用多邊形的內(nèi)角和可求得2∠AGB+2∠AED=270°，可得∠AGB+∠AED=135°，所以五個(gè)結(jié)論都正確．

解答：解：由題意可求得DE=2，CE=4，AB=BC=AD=6，
∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，
∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE=2
在Rt△ABG和Rt△AFG中

AB=AF AG=AG

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正確；
∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，
設(shè)BG=GF=x，若BG=CG=x，在Rt△EGC中，EG=x+2，CG=x，CE=4，由勾股定理可得（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，此時(shí)BG=CG=3，BG+CG=6，滿足條件，
∴②正確；
∵GC=GF，
∴∠GFC=∠GCF，
且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，
∴2∠AGB=2∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG∥CF，
∴③正確；
∵S_△EGC=

1

2

GC•CE=

1

2

×3×4=6，S_△AFE=

1

2

AF•EF=

1

2

×6×2=6，
∴S_△EGC=S_△AFE，
∴④正確；
在五邊形ABGED中，
∠BGE+∠GED=540°-90°-90°-90°=270°，
即2∠AGB+2∠AED=270°，
∴∠AGB+∠AED=135°，
∴⑤正確；
∴正確的有五個(gè)，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用折疊得到線段相等及角相等、結(jié)合多邊形內(nèi)角和及外角性質(zhì)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．