Question

12．己知常數(shù)a（a是常數(shù)）滿足下面兩個條件：
①二次函數(shù)y₁=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-5a-7）的圖象與x軸的兩個交點于坐標(biāo)原點的兩側(cè)；
②一次函數(shù)y₂=ax+2的圖象在一、二、四象限；
（1）求整數(shù)a的值；
（2）在所給直角坐標(biāo)系中分別畫出y₁、y₂的圖象，并求當(dāng)y₁＜y₂時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線與x軸的交點問題得到拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（-4，0），（5a+7，0），利用拋物線與x軸的兩個交點與坐標(biāo)原點的兩側(cè)得到5a+7＞0，則a＞-$\frac{7}{5}$，再利用一次函數(shù)性質(zhì)得到a＜0，于是得到a的范圍為-$\frac{7}{5}$＜a＜0，然后在此范圍內(nèi)找出整數(shù)即可；
（2）由（1）得拋物線解析式為y₁=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-2）=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+3，直線解析式為y=-x+2，再利用描點法畫出兩函數(shù)圖象，然后找出一次函數(shù)圖象在拋物線上方所對應(yīng)的x的范圍即可．

解答 解：（1）拋物線y₁=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-5a-7）的圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（-4，0），（5a+7，0），
根據(jù)題意得5a+7＞0，解得a＞-$\frac{7}{5}$，
又因為一次函數(shù)y₂=ax+2的圖象在一、二、四象限，則a＜0，
所以a的范圍為-$\frac{7}{5}$＜a＜0，
所以整數(shù)a為-1；
（2）拋物線解析式為y₁=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-2）=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+3，拋物線的頂點坐標(biāo)為（-1，3），
直線解析式為y=-x+2，
如圖，

當(dāng)x＜-1或x＞2時，y₁＜y₂．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：從二次函數(shù)的交點式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和觀察函數(shù)圖象的能力．