Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式；

（2）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，求線段長(zhǎng)度的最大值；

（3）在拋物線上是否存在異于、的點(diǎn)，使中邊上的高？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線，直線AD

（2）PM的最大值是 ，（3）存在，

【解析】

（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，由B點(diǎn)坐標(biāo)可求得拋物線的解析式，則可求得A，D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AD解析式； （2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PM的長(zhǎng)度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值； （3）過Q作QG∥y軸，交BD于點(diǎn)G，過Q和QH⊥BD于H，可設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QG的長(zhǎng)度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于Q點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解： （1）∵拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），

∴可設(shè)拋物線解析式為，

∵點(diǎn)B（3，0）在該拋物線的圖象上，

∴，解得a=-1，

∴拋物線解析式為，即，

∵點(diǎn)D在y軸上，令x=0可得y=3， ∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

令，得，所以

∴可設(shè)直線AD解析式為y=kx+3，

把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得－k+3=0，解得k=3，

∴直線AD解析式為；

（2）因?yàn)?/span>B（3，0），D（0，3），所以直線BD為，

設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m（m＞0），則P（m，-m+3），，

∴PM=，

∴當(dāng)m=時(shí)，PM有最大值；

3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E，作QH⊥BD于H，

設(shè)Q，則G，

∴QG=，

∵△BOD是等腰直角三角形， ∴∠DBO=45°， ∴∠HGQ=∠BGE=45°，

當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為 時(shí)，即QH=HG=，

∴QG=， ∴，

當(dāng)時(shí)，△=9-16＜0，方程無實(shí)數(shù)根，

當(dāng)時(shí)，解得x=-1或x=4，

∴Q（-1，0）或（4，-5），

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（-1，0）或（4，-5）．