Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與雙曲線$y=\frac{2}{x}$相交于C、D兩點，已知直線OC解析式為y=2x，S_△AOD=6，則D點的坐標為（　�。�

• A． $（3，\frac{2}{3}）$
• B． $（4，\frac{1}{2}）$
• C． $（5，\frac{2}{5}）$
• D． $（6，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 設D（a，$\frac{2}{a}$），根據(jù)三角形的面積求得A的坐標為（0，$\frac{12}{a}$），聯(lián)立方程求得C的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB為y=（2-$\frac{12}{a}$）x+$\frac{12}{a}$，代入D的坐標，即可求得a的值，從而求得D的坐標．

解答 解：設D（a，$\frac{2}{a}$），
∵S_△AOD=6，
∴$\frac{1}{2}$OA•a=6，
∴OA=$\frac{12}{a}$，
∴A（0，$\frac{12}{a}$），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴C（1，2），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{b=\frac{12}{a}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2-\frac{12}{a}}\\{b=\frac{12}{a}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=（2-$\frac{12}{a}$）x+$\frac{12}{a}$，
∵D點是直線AB上的點，
∴$\frac{2}{a}$=（2-$\frac{12}{a}$）•a+$\frac{12}{a}$，解得a₁=1，a₂=5，
∴D（5，$\frac{2}{5}$）；
故選C．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用三角形面積求得A的坐標是解題的關鍵．