Question

已知：如圖，點(diǎn)A（2，m）在雙曲線y=

2

x

（x＞0）上，連結(jié)OA，過點(diǎn)A作直線l⊥OA交雙曲線y=

2

x

（x＞0）于另一點(diǎn)C，AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線l的一個(gè)動點(diǎn)，作MN⊥y軸于點(diǎn)N，連結(jié)OM．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)∠OMN＞∠OAB時(shí)，寫出符合要求的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)t的取值范圍：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再確定直線OA的解析式，根據(jù)直線l和OA的垂直關(guān)系，求出l的解析式，根據(jù)C為直線l和雙曲線的交點(diǎn)通過解方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)∠OMN＞∠OAB，由兩個(gè)角的三角函數(shù)關(guān)系即可求出t的取值范圍．

解答： 解：（1）把A（2，m）代入雙曲線y=

2

x

得：m=1，
∴A（2，1），
設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
把A（2，1）代入得：2k=1，
解得：k=

1

2

，
∴y=

1

2

x，
設(shè)直線l的解析式為y=ax+b，
∵直線l⊥OA，
∴

1

2

a=-1，
∴a=-2，
把A（2，1）代入得：b=5，
∴直線l為y=-2x+5，
解方程組

y= 2 x y=-2x+5

得：

x= 1 2 y=4

，或

x=2 y=1

，
∴C（

1

2

，4）；
故答案為：C（

1

2

，4）；
（2）∵點(diǎn)M在直線y=-2x+5上，
∴M（t，-2t+5），分三種情況討論：
①當(dāng)M在第一象限時(shí)，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

-2t+5

t

，
tan∠OAB=

OB

AB

=

2

1

=2，
∴

-2t+5

t

＞2，
∴t＜

5

4

且t≠0；
②當(dāng)M在第二象限時(shí)，
ON=-2t+5，MN=-t，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

-2t+5

-t

，
由①得TAN∠OAB=2，
∴

-2t+5

-t

＞2，無解；
③當(dāng)M在第四象限時(shí)，
ON=-（-2t+5）=2t-5，MN=t，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

2t-5

t

，
由①得TAN∠OAB=2，
∴

2t-5

t

＞2，無解；
綜上所述：當(dāng)∠OMN＞∠OAB時(shí)，t＜

5

4

且t≠0；
故答案為：t＜

5

4

且t≠0．

點(diǎn)評：本題通過反比例函數(shù)的知識，考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及通過解方程組求交點(diǎn)的方法和三角函數(shù)的關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識進(jìn)行推理和計(jì)算能力以及探究精神．