Question

【題目】已知拋物線y=﹣+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣；（2）存在，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；（3）滿足條件的點(diǎn)E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．

【解析】試題分析：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），所以可以設(shè)拋物線為y=﹣（x+4）（x﹣1），展開(kāi)即可解決問(wèn)題；

（2）先證明∠ACB=90°，點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)P，求出直線AC解析式，再求出過(guò)點(diǎn)B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問(wèn)題；

（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對(duì)角線討論即可解決問(wèn)題．

試題解析：解：（1）拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣1），即；

（2）存在．當(dāng)x=0， =2，則C（0，2），∴OC=2，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴OA=4，OB=1，AB=5，當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0）；

當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，PB∥AC，如圖1，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，把A（﹣4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，∴直線AC的解析式為y=x+2，∵BP∥AC，∴直線BP的解析式為y=x+p，把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，∴直線BP的解析式為y=x﹣，解方程組： 得： 或，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，﹣3）；

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）存在點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，0），F（n， ），分三種情況討論：

①當(dāng)AC為邊，CF1∥AE1，易知CF1=3，此時(shí)E1坐標(biāo)（﹣7，0）；

②當(dāng)AC為邊時(shí)，AC∥EF，易知點(diǎn)F縱坐標(biāo)為﹣2，∴ =﹣2，解得n= ，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到： = 或 =，解得m=或，此時(shí)E2（，0），E3（，0）；

③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，AE4=CF1=3，此時(shí)E4（﹣1，0）．

綜上所述滿足條件的點(diǎn)E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．