Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點，直線AB與x軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（-6，n），線段OA=5，E為x軸正半軸上一點，且tan∠AOE=

4

3

．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出kx+b＞

m

x

的解集；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）作AD⊥x軸于點D，根據(jù)正切的定義求得

AD

OD

=

4

3

，在直角△AOD中利用勾股定理求得AD、OD的長，則得到A的坐標(biāo)，求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象即可直接寫出不等式的解集；
（3）首先求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，則C的坐標(biāo)即可求得，然后根據(jù)S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC求解．

解答：解：（1）作AD⊥x軸于點D．
∵tan∠AOE=

AD

OD

=

4

3

，
∴設(shè)AD=4x，則OD=3x，
∵△AOD中，OA²=OD²+AD²，則25=16x²+9x²，
解得：x=1，
則AD=4，OD=3，
則A的坐標(biāo)是（3，4）．
代入y=

k

x

得：k=12，
則反比例函數(shù)的解析式是：y=

12

x

；

（2）kx+b＞

m

x

的解集是：-6＜x＜0或x＞3；

（3）在y=

12

x

中，令x=-6，解得：y=n=-2，
則B的坐標(biāo)是（-6，-2）．
根據(jù)題意得：

3k+b=4 -6k+b=-2

，
解得：

k= 2 3 b=2

，
則直線的解析式是：y=

2

3

x+2．
令y=0，解得：x=-3，6=
則C的坐標(biāo)是（-3，0），即OC=3．
∴S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC=

1

2

×3×2+

1

2

×3×4=3+6=9．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的定義，正確根據(jù)勾股定理求得A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．