Question

10．如圖直角坐標系中，直線l：y=kx+k經(jīng)過A、B兩點；點B（0，3）；點P以每秒1個單位長度的從原點開始在y軸的正半軸向上勻速運動；設運動時間為t秒，直線y=t經(jīng)過點P，且隨P點的運動而運動．
（1）求k的值和點A坐標；
（2）當t=1.5秒時，直線y=t與直線l交于點M，反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$經(jīng)過點M，求反比例函數(shù)的解析式；
（3）若直線y=t與直線l的交點不在第二象限，求t的取值范圍；
（4）點C（3，0）關(guān)于直線l的對稱點在直線y=t上，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）把點B（0，3）代入y=kx+k，求出k的值，得出直線l的解析式，進而求出點A坐標；
（2）當t=1.5秒時，點P恰好是OB的中點，那么點M的縱坐標為1.5，將y=1.5代入直線l的解析式，求出M點坐標，再利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（3）直線y=t與直線l的交點不在第二象限時，交點在第一或第三象限，根據(jù)A、B縱坐標的值即可求出t的取值范圍；
（4）設點C（3，0）關(guān)于直線l的對稱點為C′，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出直線l垂直平分線段CC′，設直線CC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+b，把C（3，0）代入，利用待定系數(shù)法求出直線CC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，設C′（x，-$\frac{1}{3}$x+1），根據(jù)AC′=AC，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，得到C′坐標，進而求解即可．

解答 解：（1）∵直線l：y=kx+k經(jīng)過點B（0，3），
∴k=3，
∴直線l的解析式為y=3x+3，
令y=0，則3x+3=0，解得x=-1，
∴點A坐標為（-1，0）；

（2）∵當t=1.5秒時，OP=1.5，
而B（0，3），
∴點P恰好是OB的中點；
又∵直線y=t與x軸平行，
∴點M的縱坐標為1.5；
∵點M又在直線l上，
∴3x+3=1.5，解得x=-0.5；
∴M（-0.5，1.5）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$經(jīng)過點M，
∴n=-0.5×1.5=-$\frac{3}{4}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{4x}$；

（3）∵A（-1，0），B（0，3），
∴根據(jù)圖象，可知直線y=t與直線l的交點不在第二象限時，t的取值范圍是t≤0或t≥3；

（4）設點C（3，0）關(guān)于直線l的對稱點為C′，
則直線l垂直平分線段CC′，
∵直線l的解析式為y=3x+3，
∴可設直線CC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+b，
把C（3，0）代入，得-1+b=0，
解得b=1，
∴直線CC′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
設C′（x，-$\frac{1}{3}$x+1），
∵AC′=AC，A（-1，0），C（3，0），
∴（x+1）²+（-$\frac{1}{3}$x+1）²=4²，
解得x₁=-$\frac{21}{5}$，x₂=3（舍去），
∴x=-$\frac{21}{5}$，
∴C′（-$\frac{21}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∵點C′在直線y=t上，
∴t的值為$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．