Question

【題目】如圖：直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）點(diǎn)B（ ，0），點(diǎn)M在y軸上，⊙M經(jīng)過點(diǎn)A、B，交x軸于另一點(diǎn)C．

（1）求直線AB的解析式；
（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是劣弧AC上一個動點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，問：線段PA，PB，PC有什么數(shù)量關(guān)系？并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

把點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B（ ，0）代入y+kx+b得到 ，

解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+3

（2）解：如圖1中，連接BM．設(shè)AM=BM=r．

在Rt△BMO中，

∵OM2+OB2=BM2，OM=3﹣r，OB= ，

∴（3﹣r）2+（ ）2=r2，

∴r=2，

∴OM=3﹣2=1，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，1）

（3）解：結(jié)論：PB=PA+PC，理由如下：

如圖2中，連接AC、在PB上截取PN=PC，連接CN．

∵OM⊥BC，

∴OC=OB，

∴AC=AB，

∵tan∠ABO= = = ，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=CB，∠ACB=∠CAB=60°，

∴∠CPB=∠CAB=60°，∵PC=PN，

∴△PCN是等邊三角形，

∴CP=CN，∠PCN=60°，

∴∠PCN=∠ACB=60°，

∴∠PCA=∠NCB，∵PC=CN，CA=CB，

∴△PCA≌△NCB，

∴PA=BN，

∵PB=PN+BN，PN=PC，BN=PA，

∴PB=PA+PC．

【解析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B（ ，0）代入y+kx+b得到 解方程組即可．（2）如圖1中，連接BM．設(shè)AM=BM=r．在Rt△BMO中，由OM2+OB2=BM2 ， OM=3﹣r，OB= ，可得（3﹣r）2+（ ）2=r2 ， 解方程即可．（3）結(jié)論：PB=PA+PC，如圖2中，連接AC、在PB上截取PN=PC，連接CN．首先證明△ACB，△PCN都是等邊三角形，再證明△PCA≌△NCB，推出PA=BN，由此即可解決問題．