Question

9．如圖，已知正方形ABCD，AB=8，AD=4，E為CD邊上一點，CE=5．
（1）求AE的長．
（2）點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著邊BA向終點A運動，連接PE．設(shè)點P運動的時間為t秒，則當t為何值時，△PAE為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出∠D=90°，AB=CD=8，求出DE后根據(jù)勾股定理求出AE即可；
（2）過E作EM⊥AB于M，過P作PQ⊥CD于Q，求出AM=DE=3，當EP=EA時，AP=2DE=6，即可求出t；當AP=AE=5時，求出BP=3，即可求出t；當PE=PA時，則x²=（x-3）²+4²，求出x，即可求出t．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，
∴∠D=90°，AB=CD=8，
∵CE=5，
∴DE=3，
在Rt△ADE中，∠D=90°，AD=4，DE=3，由勾股定理得：AE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（2）過E作EM⊥AB于M，過P作PQ⊥CD于Q，

則AM=DE=3，
若△PAE是等腰三角形，則有三種可能：
當EP=EA時，AP=2DE=6，
所以t=$\frac{8-6}{1}$=2；
當AP=AE=5時，BP=8-5=3，
所以t=3÷1=3；
當PE=PA時，設(shè)PA=PE=x，BP=8-x，則EQ=5-（8-x）=x-3，
則x²=（x-3）²+4²，
解得：x=$\frac{25}{6}$，
則t=（8-$\frac{25}{6}$）÷1=$\frac{23}{6}$，
綜上所述t=3或2或$\frac{23}{6}$時，△PAE為等腰三角形．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，有一定的難度．