Question

在平面坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…，按這樣的規(guī)律進行下去，第2013個正方形的面積為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，證△DOA∽△ABA₁，得出

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，求出AB，BA₁，求出邊長A₁C=

3

2

5

，求出面積即可；求出第2個正方形的邊長；再求出第3個正方形邊長；依此類推得出第2013個正方形的邊長，求出面積即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∵AB=AD=

22+12

=

5

，
∴BA₁=

1

2

5

，
∴第2個正方形A₁B₁C₁C的邊長A₁C=A₁B+BC=

1

2

5

+

5

=

3

2

5

，
同理第3個正方形的邊長是

3 5

2

+

3 5

4

=

9 5

4

=（

3

2

）²

5

，
第4個正方形的邊長是（

3

2

）³

5

，
第2013個正方形的邊長是（

3

2

）²⁰¹²×

5

，面積是5×（

3

2

）^2×2012=5×（

3

2

）⁴⁰²⁴．
故答案為：5×（

3

2

）⁴⁰²⁴．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，依次求出正方形的邊長是解題的關鍵．