Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，點(diǎn)P在AC邊上，以點(diǎn)P為中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEF，DE交邊AC于G，當(dāng)P為中點(diǎn)時，AG：DG的值為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用特殊直角三角形的特點(diǎn)設(shè)出BC表示出線段AG，DG即可．

解答 解：設(shè)BC=x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2x，AC=$\sqrt{3}$x，
∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，
∴PC=PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
由旋轉(zhuǎn)得，DP=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，DG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$AB=x，
根據(jù)勾股定理得，PG=$\sqrt{D{G}^{2}-D{P}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}}$=$\frac{1}{2}$x，
∴AG=AP-PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}x}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評 此題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．解本題的關(guān)鍵是解直角三角形．