Question

10．如圖，已知A、B、C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為3，BC=2，AB=6．
（1）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-5，B表示的數(shù)為1；
（2）動點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN=$\frac{2}{3}$CQ，設(shè)運(yùn)動時間t（t＞0）秒．
   ①求數(shù)軸上M、N表示的數(shù)（用含t的式子表示）；
   ②t為何值時，原點(diǎn)O恰好是線段PQ的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)C所表示的數(shù)，以及BC、AB的長度，即可寫出點(diǎn)A、B表示的數(shù)；
（2）①根據(jù)題意畫出圖形，表示出AP=6t，CQ=3t，再根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得AM=3t，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系進(jìn)而可得到點(diǎn)M表示的數(shù)；根據(jù)CN=$\frac{2}{3}$CQ可得CN=t，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得到點(diǎn)N表示的數(shù)；
②此題有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)，點(diǎn)Q在點(diǎn)O的右側(cè)時；當(dāng)P在點(diǎn)O的右側(cè)，點(diǎn)Q在點(diǎn)O的左側(cè)時，分別畫出圖形進(jìn)行計算即可．

解答 解：（1）∵C表示的數(shù)為3，BC=2，
∴OB=3-2=1，
∴B點(diǎn)表示1．
∵AB=6，
∴AO=6-1=5，
∴A點(diǎn)表示-5．
故答案為：-5，1；

（2）①由題意得：AP=2t，CQ=t，如圖1所示：
∵M(jìn)為AP中點(diǎn)，
∴AM=$\frac{1}{2}$AP=t，
∴在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)是-5+t，
∵點(diǎn)N在CQ上，CN=$\frac{2}{3}$CQ，
∴CN=$\frac{2}{3}$t，
∴在數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)是3-$\frac{2}{3}$t；

②由題意得，AP=2t，CQ=t，分兩種情況：
i）如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)，點(diǎn)Q在點(diǎn)O的右側(cè)時，OP=5-2t，OQ=3-t，
∵O為PQ的中點(diǎn)，
∴OP=OQ，
∴5-2t=3-t，
解得：t=2．
當(dāng)t=2秒時，O為PQ的中點(diǎn)；
ii）如圖3所示：當(dāng)P在點(diǎn)O的右側(cè)，點(diǎn)Q在點(diǎn)O的左側(cè)時，OP=2t-5，OQ=t-3，
∵O為PQ的中點(diǎn)，
∴OP=OQ，
∴2t-5=t-3，
解得：t=2，
此時AP=4＜5，
∴t=2不合題意舍去．
綜上所述：當(dāng)t=2秒時，O為PQ的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸，以及線段的計算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，要考慮全面各種情況，不要漏解．