Question

（2013•黃岡模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點為B，OC平行于AD，OA=2．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD+OC=9，求CD的長．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OD，欲證明CD是⊙O的切線，只需證得∠ODC=90°，即OD⊥CD即可；
（2）由△ADB∽△OBC的對應(yīng)邊成比例求得AD•OC=OB•AB=2×4=8，結(jié)合已知條件“AD+OC=9”，則AD、OC是關(guān)于x的方程x²-9x+8=0的兩個根．據(jù)此求得OC、OD的值，所以在直角△OCD中，根據(jù)勾股定理來求線段CD的長度即可．

解答：證明：（1）連結(jié)OD．
∵AD∥OC，
∴∠1=∠2，∠A=∠3．
∵OA=OD，
∴∠A=∠1，
∴∠2=∠3，
∴在△ODC與△OBC中，

OD=OB ∠2=∠3 OC=OC

，
∴△ODC≌△OBC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD．
又OD是圓O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）連結(jié)BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
∵∠OBC=90°，∴∠ADB=∠OBC
又∠A=∠3，∴△ADB∽△OBC
∴

AD

OB

=

AB

OC

，AD•OC=OB•AB=2×4=8；
又AD+OC=9，
∴AD、OC是關(guān)于x的方程x²-9x+8=0的兩個根．
∵OC＞OD，∴OC=8，AD=1，OD=2，
∴CD=

OC2-OD2

=

64-4

=2

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點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．